Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, guten Morgen, willkommen zur achten Vorlesung. Heute reden wir über aufgetakelte Hilberträume

und das heißt tatsächlich so, das heißt so Englisch Rigged Hilbert Spaces und Rigged ist

die Takelage bei einem Segelschiff und Rigged ist halt tatsächlich aufgetakelt und das kennen wir

quasi nur mit negativer Konnotation. Eigentlich heißt es ja hübsch gemacht und bereit gemacht

und so weiter, das Segelschiff auf jeden Fall und es wird darum gehen, dass der Hilbertraum,

wie wir ihn normalerweise haben, wie wir ihn auch bis jetzt benutzt haben beim Spektraltheorem für

unendlich dimensionale Hilberträume, ist eigentlich ein Raum, der ist nicht so ganz vollständig

geeignet all das zu tun, was wir tun wollen. Wir hatten das letzte Mal diese verallgemeinerten,

hatte ich das kurz genannt, Eigenfunktionen oder Eigenvektoren angeschaut, zum Beispiel des Ortsoperators,

das war diese Delta-Funktion, aber die selbst ist ja gar keine Funktion, insbesondere liegt sie nicht

im L2-Hilbertraum und die Frage ist, kann man den Hilbertraum denn noch so ein bisschen auftakelen,

kann man da einen größeren Raum schaffen, in dem das alles funktioniert und die Physiker machen das

schon lang, die schreiben dann die Gleichung hin, sagen ach herrje, das ist keine so richtige Funktion,

diese Delta-Funktion zum Beispiel, aber es gibt viele andere und wir möchten es aber trotzdem

irgendwie diese Eigenwertgleichungen hinschreiben und mit der bisherigen Technologie können wir das nicht.

Wir brauchen das eigentlich auch nicht, weil wir in der letzten Vorlesung ja das Spektraltheorien

in seiner vollen Pracht kennengelernt haben, das mit dieser Projektoren-Schar, mit dieser Spektralschar arbeitet,

aber für praktische Rechnungen ist das, was wir heute machen, die geeignete Erweiterung der Mathematik

an dieser Stelle. Also was haben wir das letzte Mal gesehen?

Das auf einem unendlich dimensionalen Hilbertraum

haben selbst

selbst adjungierte, also sogar selbst adjungierte Operatoren, also das war ein Operator A, der von

irgendeinem zunächst mal in der Regel dichten, einer dichten, topologisch dichten Untermenge im

Hilbertraum linear abbildet und selbst adjungiert ist. Selbst für solche selbst adjungierten Operatoren

galt eben gerade nicht, galt nicht, das ist eine Basis von Eigenvektoren.

Was waren nochmal Eigenvektoren? Gibt Eigenvektoren, waren solche psi im Hilbertraum,

aber dezidiert nicht null Elemente im Hilbertraum, sodass es einen bei selbst adjungierten Operatoren

reellen Eigenwert gibt, das heißt, sodass A vom psi gleich Lambda psi ist. Es galt nicht, dass es

eine Basis von Eigenvektoren gibt. Das war die wesentliche Erkenntnis und das Extrembeispiel für

diese Nichtexistenz von Eigenvektoren in diesem Sinne, dass der Eigenvektor im Hilbertraum liegt

und kein Nullvektor ist. Das Extrembeispiel war für unseren Hilbertraum, der in der Quantenmechanik

sehr häufig vorkommt, nämlich der der quadratintegrablen Funktion. Über R können Sie auch über R hoch 3 machen

oder über R hoch f, wir haben es über R gemacht. Und ich erinnere nochmal dran, dass dieser L2,

das waren Äquivalenzklassen von Funktionen von R nach C mit dieser Quadratintegrabilitätseigenschaft,

aber Sie erinnern sich, dass wir zwei solche Funktionen identifiziert haben, also quasi zur gleichen

Äquivalenzklasse gezählt haben, als das gleiche Element in L2 betrachtet haben, wenn zwei Funktionen

sich höchstens auf einer Nullmenge voneinander unterscheiden. Das war ganz wichtig. Und auf diesem Raum

hatten wir dann zum Beispiel den Ortsoperator betrachtet, das ist also ein linearer Operator, der wie

folgt definiert war. Sie nehmen ein Ψ aus dem entsprechenden Definitionsbereich, bilden es ab auf Q Ψ,

das soll dann wieder ein Hilbertraum-Element sein. Jetzt muss ich aber sagen, wie diese Abbildung

funktioniert ist. Da ist jetzt zunächst mal nur hingeschrieben, wie die Abbildung heißt. Weil es sich

um Funktionenräume handelt, kann ich mit Sicherheit erklären, was Q vom Ψ für eine Funktion ist,

indem ich ihre Funktionswerte überall auf R vorgebe. Und die hatten wir vorgegeben als x mal Ψ von x.

So war dieser Ortsoperator, hatten wir den genannt, definiert. Das hat jetzt mit dem Ort, in der Physik

ist das nachher der Ortsoperator, das hat für die Mathematik jetzt gerade gar nichts zu sagen. Und

sie hatten auch gesehen, man muss natürlich dieses DQ entsprechend einschränken, sodass dieses Ergebnis

dann immer noch quadratintegrabel ist, also da hinten in diesem L2 lebt. Und da hatten wir halt

tatsächlich gesehen, zwar wird diese Eigenwertgleichung Q Ψ gleich Λ Ψ, das ist ja die Eigenwertgleichung,

Q Ψ gleich Λ Ψ, die wird zwar gelöst. Und wie habe ich die zu lesen? Das ist jetzt eine Gleichung